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<!DOCTYPE html>

<title>Implikation</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Implikation</span></h1>

</header>

</div>

<p>Die Bezeichnung <b>Implikation</b> (von <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a></span> <span lang="la-Latn" style="font-style:italic">implicare</span> <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚verwickeln‘</span>; <a href="Verb" title="Verb">Verb</a>: <i>implizieren</i>; <a href="Adjektiv" title="Adjektiv">Adjektiv</a>: <i>implizit</i>) wird in der <a href="Logik" title="Logik">Logik</a> nicht einheitlich für einen bestimmten logischen Zusammenhang verwendet; insbesondere werden unterschieden:

</p>

<ul><li>eine <b>materiale Implikation</b> als eine von mehreren möglichen logischen Verknüpfungen (<a href="Junktor" title="Junktor">Junktoren</a>) zwischen zwei <a href="Aussage_(Logik)" title="Aussage (Logik)">Aussagenvariablen</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> (siehe auch Artikel „<a href="Junktor#Mögliche_Junktoren" title="Junktor">Junktor</a>“). Diese materiale Implikation, auch <i><a href="Subjunktion" title="Subjunktion">Subjunktion</a></i> oder <i>Konditional</i> genannt, kann <a href="Wahrheitsfunktion" class="mw-redirect" title="Wahrheitsfunktion">wahrheitsfunktional</a> definiert werden (siehe <a href="#Wahrheitsfunktionale_Implikation">Abschnitt unten</a>). Sie findet sich bereits bei <a href="Philon_von_Megara" title="Philon von Megara">Philon von Megara</a> (3. Jh. v. Chr.) und wird umgangssprachlich meist umschrieben mit: „Wenn <i>a</i>, dann <i>b</i>.“<sup id="cite_ref-Grundriß_der_formalen_Logik_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Grundriß_der_formalen_Logik-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li>

<li>eine <b>formale Implikation</b> als eine Form logischen Zusammenhangs, welche eher einer intuitiven Anschauung entsprechen soll, die sich aus Gewohnheiten der <a href="Umgangssprache" title="Umgangssprache">Umgangssprache</a> ergeben kann. Es entstanden im Laufe der Zeit verschiedene Interpretationen, um das Phänomen möglichst eindeutig zu <a href="Formalisierung" title="Formalisierung">formalisieren</a>. Dabei wird die obige Formel differenzierter betrachtet, zum Beispiel als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bigwedge _{x}(A(x)\rightarrow B(x))}">

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bigwedge _{x}(A(x)\rightarrow B(x))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12fda0958b32d043fdf020354b9cc325dd3d62b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.79ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \bigwedge _{x}(A(x)\rightarrow B(x))}" loading="lazy"></span>, gelesen: „Für jedes Individuum <i>x</i> gilt: Wenn <i>x</i> die Eigenschaft <i>A</i> besitzt, dann besitzt es auch die Eigenschaft <i>B</i>.“ Die Analyse einer Aussage mit Zerlegung in den <a href="Pr%C3%A4dikator" title="Prädikator">Prädikator</a> und sein <a href="Argument" title="Argument">Argument</a>, insbesondere für die formale Implikation, findet sich ähnlich schon bei <a href="Platon" title="Platon">Platon</a> und <a href="Aristoteles" title="Aristoteles">Aristoteles</a>.<sup id="cite_ref-Grundriß_der_formalen_Logik_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Grundriß_der_formalen_Logik-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul>

<p>Als Varianten einer <i><a href="Deduktion" title="Deduktion">deduktionmäßigen</a></i> formalen Implikation können auch die <i><a href="#Intuitionistische_Implikation">intuitionistische Implikation</a></i> bzw. <i><a href="Subjunktion" title="Subjunktion">Subjunktion</a></i> innerhalb der <a href="Dialogische_Logik" title="Dialogische Logik">dialogischen Logik</a> sowie die <i>strenge Implikation</i> von <a href="Wilhelm_Ackermann_(Mathematiker)" title="Wilhelm Ackermann (Mathematiker)">Ackermann</a> und ebenso die <i><a href="#Strikte_Implikation">strikte Implikation</a></i> angesehen werden. Von <a href="Bruno_von_Freytag-L%C3%B6ringhoff" title="Bruno von Freytag-Löringhoff">Bruno von Freytag-Löringhoff</a> und <a href="Albert_Menne" title="Albert Menne">Albert Menne</a> wurde die Implikation als <a href="Hypothetischer_Syllogismus" title="Hypothetischer Syllogismus">hypothetisches Urteil</a> formalisiert.

</p><p>Diese spezifischeren Deutungen können auch als <i>objektsprachliche</i> Implikationen bezeichnet werden. Davon zu unterscheiden sind dann jeweils die <i><a href="Metasprache" title="Metasprache">metasprachlichen</a></i> Implikationen; sie erlauben es, <i>über</i> die logische Struktur dieser Sprachen zu sprechen. Dementsprechend kann ihnen eine noch engere Verbindung zum <a href="Ableitung_(Logik)" title="Ableitung (Logik)">Ableitbarkeitsbegriff</a> und dem Begriff der <a href="Schlussfolgerung" title="Schlussfolgerung">Schlussfolgerung</a> zugesprochen werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Unterschied_zwischen_objektsprachlicher_und_metasprachlicher_Implikation">Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Implikation</h2></div>

<p>Die objektsprachliche Implikation (materiale Implikation, Konditional, Subjunktion) ist ein Aussagesatz, der mittels des <a href="Junktor" title="Junktor">Junktors</a> „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist. Zum Beispiel ist „Wenn es regnet, dann ist die Straße nass“ eine materiale Implikation; diese Implikation sagt etwas über den logischen Zusammenhang der Sätze, nämlich dass die Wahrheit des ersten Teilsatzes (Antezedens, auch <i>Antecedens</i>) eine <a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">hinreichende Bedingung</a> für die Wahrheit des zweiten Teilsatzes (<a href="Konsequenz" title="Konsequenz">Konsequenz</a>) ist.

</p><p>Die metasprachliche Implikation ist hingegen eine Aussage <i>über Aussagen,</i> eben eine <i>Metaaussage.</i> Eine metasprachliche Implikation wäre die Aussage „Aus dem <a href="Satz_(Grammatik)" title="Satz (Grammatik)">Satz</a> ‚Es regnet‘ folgt der Satz ‚Die Straße ist nass‘“. Hier wird nichts über Regen, Nässe oder deren Zusammenhang ausgesagt, sondern hier wird über zwei Sätze der Objektsprache und ihr logisches Verhältnis gesprochen. Dabei kann auf ihre Bedeutung Bezug genommen werden (etwa: ob das, was der eine Satz aussagt, vorliegt, wenn das vorliegt, was der andere aussagt) oder auch nicht, so können zwei Sätze allein durch ihre logische Form miteinander verbunden sein (so kann man zum Beispiel sagen: „Wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\land b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\land b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8a40f76f4fd75aa92b1a78e44fb7f76ab6ed70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.81ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\land b}" loading="lazy"></span>, dann <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span>“).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Objektsprachliche_Implikationen">Objektsprachliche Implikationen</h2></div>

<p>Die objektsprachliche Implikation, ein <a href="Aussagesatz" class="mw-redirect" title="Aussagesatz">Aussagesatz</a>, der mittels des Junktors „(schon) wenn …, dann …“ aus zwei kürzeren Aussagesätzen zusammengesetzt ist, wird als <i>materiale Implikation</i>, <i>Subjunktion</i> und <i>Konditional</i> bezeichnet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahrheitsfunktionale_Implikation">Wahrheitsfunktionale Implikation</h3></div>

<p>In der <a href="Klassische_Logik" title="Klassische Logik">klassischen Logik</a> werden nur <a href="Wahrheitswertefunktion" title="Wahrheitswertefunktion">wahrheitsfunktionale</a> Aussageverbindungen verwendet, das heißt nur solche, bei denen der <a href="Wahrheitswert" title="Wahrheitswert">Wahrheitswert</a> der Aussagenverknüpfung allein von dem Wahrheitswert der Teilaussagen abhängt. <span id="Nachsatz"></span><span id="Vordersatz"></span> Innerhalb eines Konditionals <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> wird die erste Aussage <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> unter anderem als Vordersatz, Antezedens, Implikans oder Vorderglied bezeichnet, die zweite Aussage <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> unter anderem als Nachsatz, Hintersatz, Konsequenz, Implikat, selten auch Sukzedens.

</p><p>Seit der Antike wird – erstmals von <a href="Philon_von_Megara" title="Philon von Megara">Philon von Megara</a> – die wahrheitsfunktionale Implikation oder <b>seq-Funktion</b> durch folgende <a href="Wahrheitstabelle" title="Wahrheitstabelle">Wahrheitstabelle</a> definiert:

</p>

<td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span></th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span></th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span>

</th></tr>

<tr>

<th>f

</th>

<td>w

</td></tr>

<tr>

<th>w

</th>

<td>w

</td></tr>

<tr>

<th>f

</th>

<td>f

</td></tr>

<tr>

<th>w

</th>

<td>w

</td></tr></tbody></table>

<p>Diese wahrheitsfunktionale objektsprachliche Implikation wird unter anderem <i>materiale Implikation</i>, <i>Subjunktion</i> oder (zunehmend) <i>Konditional</i> genannt. Sie drückt die <a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">hinreichende Bedingung</a> aus, das heißt, sie behauptet keinerlei kausalen oder sonstigen inhaltlichen Zusammenhang zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Schon im Altertum wurde diskutiert, inwieweit und unter welchen Voraussetzungen das <a href="Nat%C3%BCrlichsprachlich" class="mw-redirect" title="Natürlichsprachlich">natürlichsprachliche</a> „wenn …, dann …“ eine hinreichende Bedingung ausdrückt und damit der materialen Implikation entspricht, vor allem aber, ob und wie sich die anderen Bedeutungen des natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“, zum Beispiel die kausale („A verursacht B“), analysieren lassen. Versuche, andere Bedeutung als die rein wahrheitsfunktionale („materiale“) Bedeutung des natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“ zu analysieren, führen zu nichtklassischen Implikationen, zum Beispiel der <i>strikten Implikation</i> und der <i>intuitionistischen Implikation</i>.

</p><p>Als <i>Symbol</i> für den Junktor wird in der <a href="Formale_Sprache" title="Formale Sprache">formalen Sprache</a> der Logik ein einfacher Pfeil <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"></span>, insbesondere im englischsprachigen Bereich in Anlehnung an die Peano-Russellsche Schreibweise auch die Kurve <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \supset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \supset }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bfe0828a2ed4c9c6b70987a85c02a1f005843c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \supset }" loading="lazy"></span> („Hufeisen“, <i>„horseshoe“</i>, „Bogenzeichen“ (Reichenbach)) verwendet, gelegentlich auch der Pfeil mit zwei Querstrichen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/469b737d167b9b28a74e27c7f5e35b5ea9256100.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow }" loading="lazy"></span>.

</p><p>In der <a href="Polnische_Notation" title="Polnische Notation">polnischen Notation</a> wird für die materiale Implikation der Großbuchstabe <i>C</i> verwendet, sodass die Aussage „Wenn a, dann b“ als <i>Cab</i> geschrieben wird.

</p><p><a href="Gottlob_Frege" title="Gottlob Frege">Gottlob Frege</a> drückt in seiner <a href="Begriffsschrift" title="Begriffsschrift">Begriffsschrift</a>, der ersten Formalisierung der klassischen <a href="Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a>, das Konditional „Wenn A, dann B“ durch <span class="mw-default-size" typeof="mw:File"></span> aus.

</p>

<td>

<th>Schreibweisen

</th>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\supset b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d217fc17712c3f781733877ee0f09ab023ec90cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\supset b}" loading="lazy"></span></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\Rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b94721275636d73be381a746a320885659779d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\Rightarrow b}" loading="lazy"></span></td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Cab}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/544c6f1ace15161df233d1493f2c86d6493af07e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.994ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Cab}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Natürliche_Sprache_und_materiale_Implikation"><span id="Nat.C3.BCrliche_Sprache_und_materiale_Implikation"></span>Natürliche Sprache und materiale Implikation</h4></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Paradoxien_der_materialen_Implikation" title="Paradoxien der materialen Implikation">Paradoxien der materialen Implikation</a></i></div>

<p>Im Fall der materialen Implikation sagt man oft kurz: „Wenn a, dann b.“ Dieser Sprachgebrauch ist etwas unglücklich, weil die Formulierung „wenn …, dann …“ im Deutschen ein weites Bedeutungsfeld hat und mehrheitlich nicht für materiale, das heißt hier wahrheitsfunktionale, sondern für inhaltliche Zusammenhänge (<a href="Kausalit%C3%A4t" title="Kausalität">Kausalität</a> oder zeitliche Abfolge) verwendet wird. Solche Zusammenhänge lassen sich mit der materialen Implikation nicht ausdrücken. Zwischen der materialen Implikation und dem natürlichsprachlichen „wenn …, dann …“ muss daher sehr genau unterschieden werden. Manchmal versucht man, durch Formulierungen wie „<i>Schon</i> wenn a, dann b …“ oder „a ist eine hinreichende Bedingung für b“ Missverständnisse zu vermeiden, die aus den vielen Bedeutungen des deutschen „wenn …, dann …“ resultieren können.

</p><p>Die Implikation zu (a) „Es regnet“ und (b) „Die Straße wird nass“ ist damit die <a href="Aussage" title="Aussage">Aussage</a>

</p>

<td>Wenn es regnet, wird die Straße nass.

</td></tr></tbody></table>

<p>Alternative Formulierungen, die den materialen Charakter besser betonen, sind

</p>

<td>Schon wenn es regnet, wird die Straße nass.

</td></tr></tbody></table>

<p>oder

</p>

<td>Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass wird.

</td></tr></tbody></table>

<p>Die materiale Implikation ist genau dann <i>falsch</i>, wenn das Antezedens <i>wahr</i> ist und das Sukzedens <i>falsch</i> ist. In jedem anderen Fall ist die Implikation <i>wahr</i>. Das Konditional „(w)enn es regnet, wird die Straße nass“ ist also nur dann falsch, wenn es regnet, die Straße aber nicht nass wird.

</p><p>Die Festlegung, dass eine materiale Implikation nur dann falsch ist, wenn das Antezedens (der Wenn-Teil) wahr und das Sukzedens falsch ist, führt dazu, dass die folgenden <a href="Logische_Verkn%C3%BCpfung" title="Logische Verknüpfung">Verknüpfungen</a> empirischer Aussagen <i>wahr</i> sind:

</p>

<td>Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee weiß.</td>

<td>falsches Antezedens, wahres Sukzedens

</td></tr>

<tr>

<td>Wenn London in Frankreich liegt, ist Schnee schwarz.</td>

<td>falsches Antezedens, falsches Sukzedens

</td></tr>

<tr>

<td>Wenn London in England liegt, ist Schnee weiß.</td>

<td>wahres Antezedens, wahres Sukzedens

</td></tr></tbody></table>

<p>Diese <i>Paradoxien der materialen Implikation</i> unterstreichen den extensionalen Charakter (<i>siehe</i> <a href="Junktor" title="Junktor">Junktor</a>) der materialen Implikation: Sie behauptet keinerlei inhaltlichen Zusammenhang zwischen Antezedens (Wenn-Teil) und Sukzedens (es gibt auch tatsächlich keinen Zusammenhang zwischen der geographischen Lage von London und der Farbe von Schnee), vielmehr wird ihr Wahrheitswert rein extensional auf die <a href="Wahrheitswert" title="Wahrheitswert">Wahrheitswerte</a> ihrer Teilsätze zurückgeführt: „Schon wenn das Antezedens wahr ist, ist das Sukzedens auch wahr.“

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zusammenhang_mit_der_notwendigen_Bedingung">Zusammenhang mit der notwendigen Bedingung</h4></div>

<p>Wie bereits erwähnt, drückt die materiale Implikation die <a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">hinreichende Bedingung</a> aus. Von ihr zu unterscheiden ist die <i>notwendige Bedingung,</i> die besagt, dass ein <a href="Sachverhalt" title="Sachverhalt">Sachverhalt</a> erforderlich, aber eben nicht ausreichend dafür ist, dass ein anderer Sachverhalt eintritt.

</p>

<dl><dt>Beispiel</dt>

<dd>„Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen.“ Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht, ist aber nicht ausreichend; man muss in der Regel zusätzliche Bedingungen erfüllen, z. B. die Staatsbürgerschaft des Landes haben.</dd></dl>

<p>Die hinreichende und die notwendige <a href="Bedingung_(Philosophie)" title="Bedingung (Philosophie)">Bedingung</a> stehen in engem Zusammenhang. Wenn ein Sachverhalt A eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt B ist, dann ist B zugleich eine notwendige Bedingung für A. Das Beispiel „Nur wenn eine Person volljährig ist, darf sie wählen“ ist logisch äquivalent mit „Schon wenn eine Person wählen darf, ist sie volljährig.“ Verdeutlichen kann man sich diesen zunächst oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang, indem man sich die Situation in einem Wahllokal vor Augen führt. Wenn man dort eine Person wählen sieht, dann kann man – auch wenn sie vielleicht sehr jung aussieht – daraus eindeutig schließen, dass sie volljährig sein muss; denn es dürfen ja nur Volljährige wählen.

</p><p>Auf Grund dieses inhaltlichen <a href="Relation_(Philosophie)" title="Relation (Philosophie)">Zusammenhangs</a> drückt die materiale Implikation ebenso die notwendige wie die hinreichende Bedingung aus:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wird zwar gewöhnlich gelesen als „A ist eine hinreichende Bedingung für B“ bzw. „Schon wenn A, dann B“; da das aber äquivalent ist zu „<i>B</i> ist eine <i>notwendige</i> Bedingung für <i>A</i>“, kann man es ebenso gut auf diese Weise lesen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Eigenschaften_und_logische_Gesetze">Eigenschaften und logische Gesetze</h4></div>

<p>Die materiale Implikation

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>ist aussagenlogisch zum Beispiel mit den folgenden Aussagen <a href="Logische_%C3%84quivalenz" title="Logische Äquivalenz">äquivalent</a>:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg a\lor b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65d11f3399e45181f6398bf62f75808abe9c575c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.36ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg a\lor b}" loading="lazy"></span> (lies: „nicht <i>a</i> oder <i>b</i>“). Über diese Äquivalenz kann die materiale Implikation anhand von <a href="Disjunktion" title="Disjunktion">Disjunktion</a> und <a href="Negation" title="Negation">Negation</a> <a href="Definition" title="Definition">definiert</a> werden.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (a\land \neg b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fe4b19f319749f262c0e7301acb85d793b7db85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (a\land \neg b)}" loading="lazy"></span> (lies: „es gilt nicht: <i>a</i> und nicht <i>b</i>“). Die materiale Implikation kann also ebenfalls anhand von <a href="Konjunktion_(Logik)" title="Konjunktion (Logik)">Konjunktion</a> und Negation definiert werden.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg b\rightarrow \neg a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55137a2ab7b6b334a36f8c1036500766e27bd023.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.942ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg b\rightarrow \neg a}" loading="lazy"></span> (lies: „wenn nicht <i>b</i>, dann nicht <i>a</i>“). Man kann also die Implikation umkehren, wenn man dabei gleichzeitig Antezedens und Sukzedens negiert. Dieses logische Gesetz wird auch als <a href="Kontraposition" title="Kontraposition">Kontraposition</a> bezeichnet.</li></ul>

<p>Außerdem ist die Aussage <i>a</i> äquivalent mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \top \rightarrow a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \top \rightarrow a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8602d1b28a5e9825946e3bd92948b8a953513ef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \top \rightarrow a}" loading="lazy"></span> und die Aussage <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e72f6b2a9120b875c42a17235dbf8d417e9abbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.78ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \neg a}" loading="lazy"></span> (lies: „nicht <i>a</i>“) ist äquivalent mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow \bot }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow \bot }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d64421d7682cc09a6ca4e9b0252a7ea83fcbf36d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow \bot }" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \top }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \top }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf12e436fef2365e76fcb1034a51179d8328bb33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \top }" loading="lazy"></span> eine beliebige <a href="Tautologie_(Logik)" title="Tautologie (Logik)">Tautologie</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bot }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bot }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f282c7bc331cc3bfcf1c57f1452cc23c022f58de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \bot }" loading="lazy"></span> eine beliebige <a href="Kontradiktion" title="Kontradiktion">Kontradiktion</a> ist. Ferner sind <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bot \rightarrow a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bot \rightarrow a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c8b2c128b4aa979d682ebdee5327dab7264aba6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \bot \rightarrow a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow \top }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow \top }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7128dbb1750eddb77033b156ae442ff36e0da22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow \top }" loading="lazy"></span> äquivalent mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \top }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \top }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf12e436fef2365e76fcb1034a51179d8328bb33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \top }" loading="lazy"></span>.

</p><p>Aufgrund ihres extensionalen Charakters eignet sich die materiale Implikation in der <a href="Pr%C3%A4dikatenlogik" title="Prädikatenlogik">Prädikatenlogik</a> gut dazu, Aussagen des Typs „Alle Pferde sind Säugetiere“ wie folgt zu formalisieren:

</p>

<td>Schreibweise

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x(P(x)\rightarrow S(x))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a31d2a60bbf8a244dcbeebfff2e12a52c70c86f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.568ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x(P(x)\rightarrow S(x))}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>Sprechweise

</td>

<td><i>„Für alle x gilt: Wenn x ein Pferd ist, ist x ein Säugetier“</i>

</td></tr></tbody></table>

<p>Bezüglich der Eigenschaften der materialen Implikation ist festzuhalten: Sie ist nicht <a href="Assoziativgesetz" title="Assoziativgesetz">assoziativ</a>, <a href="Kommutativgesetz" title="Kommutativgesetz">kommutativ</a>, <a href="Symmetrische_Relation" title="Symmetrische Relation">symmetrisch</a>, <a href="Antisymmetrische_Relation" title="Antisymmetrische Relation">antisymmetrisch</a> oder <a href="Asymmetrische_Relation" title="Asymmetrische Relation">asymmetrisch</a>. Sie ist aber <a href="Transitive_Relation" title="Transitive Relation">transitiv</a>, das heißt, es gilt:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\rightarrow c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\rightarrow c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f56ed0cf3c535544111c1f4f367eec31ec5e4b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.618ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\rightarrow c}" loading="lazy"></span> folgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de8f69264bbc4ad99a97d815a607210e2bdd56ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.851ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow c}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Außerdem ist sie <a href="Reflexive_Relation" title="Reflexive Relation">reflexiv</a>, es gilt also allgemein:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bc6c2abf9a6230e9ec691c3c6ee0928b9f39d9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.074ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow a}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Mit Hilfe der Implikation und der <a href="Negation#Logik" title="Negation">Negation</a> lassen sich alle aussagenlogischen Junktoren darstellen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nichtklassische_Implikationen">Nichtklassische Implikationen</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Intuitionistische_Implikation">Intuitionistische Implikation</h4></div>

<p>Im <a href="Intuitionismus" title="Intuitionismus">Intuitionismus</a> bedeutet der Ausdruck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> intuitiv, dass sich ein Beweis von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> (über dessen Existenz nichts ausgesagt wird) zu einem Beweis von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> transformieren lässt. Die <a href="Semantik_(Logik)" title="Semantik (Logik)">Semantik</a> findet in <a href="Heyting-Algebra" title="Heyting-Algebra">Heytingalgebren</a> statt, oder es werden <a href="Extension_und_Intension" title="Extension und Intension">intensionale</a> Semantiken verwendet, deren bekannteste und erste formalisierte die von <a href="Saul_Kripke" title="Saul Kripke">Saul Kripke</a> zunächst für die <a href="Modallogik" title="Modallogik">Modallogik</a> entwickelte <a href="Kripke-Semantik" class="mw-redirect" title="Kripke-Semantik">Kripke-Semantik</a> ist.

</p><p>Die oben angeführten Äquivalenzen gelten intuitionistisch teilweise „nur in eine Richtung“, d. h. insbesondere:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> folgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg (a\land \neg b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg (a\land \neg b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fe4b19f319749f262c0e7301acb85d793b7db85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \neg (a\land \neg b)}" loading="lazy"></span>, aber nicht umgekehrt.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> folgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg b\rightarrow \neg a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg b\rightarrow \neg a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55137a2ab7b6b334a36f8c1036500766e27bd023.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.942ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg b\rightarrow \neg a}" loading="lazy"></span>, aber nicht umgekehrt.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg a\lor b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65d11f3399e45181f6398bf62f75808abe9c575c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.36ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg a\lor b}" loading="lazy"></span> folgt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/390afdb0d8e933dbc4eee8022d8c91b2015f0522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.841ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow b}" loading="lazy"></span>, aber nicht umgekehrt.</li></ul>

<p>Anders als die materiale Implikation kann also die intuitionistische Implikation nicht über Negation und Konjunktion oder Disjunktion definiert werden.

</p><p>Es gilt jedoch weiterhin, dass <i>a</i> äquivalent ist mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \top \rightarrow a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \top \rightarrow a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8602d1b28a5e9825946e3bd92948b8a953513ef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \top \rightarrow a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e72f6b2a9120b875c42a17235dbf8d417e9abbd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.78ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \neg a}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow \bot }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow \bot }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d64421d7682cc09a6ca4e9b0252a7ea83fcbf36d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow \bot }" loading="lazy"></span> sowie dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \bot \rightarrow a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \bot \rightarrow a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c8b2c128b4aa979d682ebdee5327dab7264aba6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \bot \rightarrow a}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\rightarrow \top }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\rightarrow \top }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7128dbb1750eddb77033b156ae442ff36e0da22.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.652ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\rightarrow \top }" loading="lazy"></span> äquivalent sind mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \top }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \top }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf12e436fef2365e76fcb1034a51179d8328bb33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \top }" loading="lazy"></span>. Wie die materiale Implikation ist auch die intuitionistische transitiv und reflexiv.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Strikte_Implikation">Strikte Implikation</h4></div>

<p>Bei der strikten Implikation handelt es sich um die Kombination des <a href="Modallogik" title="Modallogik">modallogischen</a> Notwendigkeits-Operators mit der materialen Implikation.

</p>

<td>Schreibweise

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Box (a\rightarrow b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2da10274e90a88a9c44bcf2fa089e56fbd20a26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.459ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Box (a\rightarrow b)}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Box (a\supset b)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Box (a\supset b)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9082d234d6831e357b31f0e93e90451493206c76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.943ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Box (a\supset b)}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>Sprechweise

</td>

<td><i>Wenn</i> a, <i>dann gilt notwendig</i> b

</td></tr></tbody></table>

<p>Die strikte Implikation wurde von <a href="Diodoros_Kronos" title="Diodoros Kronos">Diodoros Kronos</a> und in der Scholastik als Umgehungsversuch der Paradoxien der materialen Implikation entwickelt und 1918 von <a href="Clarence_Irving_Lewis" title="Clarence Irving Lewis">Clarence Irving Lewis</a> neu aufgestellt. Damit soll eine Annäherung an das natürlichsprachliche „wenn …, dann …“ erreicht werden. Die strikte Implikation ist nämlich nicht schon dann bereits wahr, wenn das Antezedens falsch oder das Sukzedens wahr ist. Von der strikten Implikation gibt es zahlreiche Varianten, je nachdem welcher Modalkalkül zugrunde gelegt wird. Die strikte Implikation ist, ebenso wie die materiale und die intuitionistische, transitiv und reflexiv.

</p><p>Auch das Konzept der strikten Implikation unterliegt der Kritik, weil sie zwar die Paradoxie der materialen Implikation vermeidet, aber zu der analogen Schwierigkeit führt, dass jede logisch unmögliche Aussage jede beliebige Aussage und dass jede Aussage jede logisch notwendige Aussage strikt impliziert. Lewis’ eigener Verwendung der strikten Implikation wurde zudem vorgeworfen, <a href="Metasprache" title="Metasprache">Objekt- und Metasprache</a> durcheinanderzubringen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Metasprachliche_Implikation">Metasprachliche Implikation</h2></div>

<p>Die metasprachliche Implikation ist eine Aussage <i>über Aussagen</i>. Eine Aussage A impliziert genau dann eine Aussage B, wenn mit dem Zutreffen von A auch das Zutreffen von B gewährleistet ist. Analog implizieren mehrere Aussagen A<sub>1</sub> bis A<sub>n</sub> genau dann eine Aussage B, wenn mit dem gemeinsamen Zutreffen der Aussagen A<sub>1</sub> bis A<sub>n</sub> auch das Zutreffen von B gewährleistet ist. Zum Beispiel implizieren die Aussagen „Alle Schweine grunzen“ und „Babe ist ein Schwein“ die Aussage „Babe grunzt“.

</p><p>Der Begriff der Folgerung und damit die metasprachliche Implikation wird auf unterschiedliche Weisen formal präzisiert. Zum einen unterscheidet man zwischen der <i><a href="Semantische_Folgerung" title="Semantische Folgerung">semantischen Folgerung</a></i>, <a href="Notation" title="Notation">notiert</a> als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\models B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\models B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7fd1922aa2f7e93859bead6c39ebc264c983fbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.006ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\models B}" loading="lazy"></span>, und der <i>syntaktischen Folgerung</i>, der Herleitbarkeit, aufgeschrieben als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\vdash B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\vdash B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8643d36d902d2eb9eb1eab467ade9f9ac63b05d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.412ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\vdash B}" loading="lazy"></span>:

</p>

<dl><dt>Semantischer Folgerungsbegriff</dt>

<dd>Eine Folgerung ist genau dann semantisch gültig, geschrieben: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\models B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\models B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7fd1922aa2f7e93859bead6c39ebc264c983fbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.006ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\models B}" loading="lazy"></span>, wenn die Wahrheit der Aussagen A<sub>1</sub> bis A<sub>n</sub> die Wahrheit der Aussage B gewährleistet. In einer Interpretationssemantik ist das genau dann der Fall, wenn bei jeder <a href="Interpretation_(Logik)" title="Interpretation (Logik)">Interpretation</a>, bei der jede der Aussagen A<sub>1</sub> bis A<sub>n</sub> wahr ist, auch die Aussage B wahr ist.</dd>

<dt>Syntaktischer Folgerungsbegriff</dt>

<dd>Eine Folgerung ist genau dann syntaktisch gültig, geschrieben <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{1},\ldots A_{n}\vdash B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{1},\ldots A_{n}\vdash B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fac27204f9e04a9e44146dda8b62884d2bf3a386.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.378ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{1},\ldots A_{n}\vdash B}" loading="lazy"></span>, wenn sich die Aussage B in einem gegebenen logischen <a href="Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkül</a> aus den Aussagen A<sub>1</sub> bis A<sub>n</sub> herleiten lässt, das heißt, wenn sich aus den Aussagen A<sub>1</sub> bis A<sub>n</sub> unter Anwendung der Schlussregeln und Axiome des jeweiligen Kalküls die Aussage B erzeugen lässt.</dd></dl>

<p>Zum anderen gibt es grundsätzlich unterschiedliche Fassungen des Folgerungsbegriffs und damit der metasprachlichen Implikation, etwa den der <a href="Klassische_Logik" title="Klassische Logik">klassischen Logik</a> oder den der Logik. Diese unterschiedlichen Definitionen von Folgerung beziehungsweise metasprachlicher Implikation führen zu grundsätzlich unterschiedlichen Kalkülen und semantischen <a href="Modelltheorie" title="Modelltheorie">Modellen</a>. Wenn aus dem Zusammenhang nicht klar hervorgeht, welche Art von metasprachlicher Implikation beziehungsweise Folgerung gemeint ist, ist es daher notwendig, diese Information mitzuliefern. Man kann daher zum Beispiel auf Formulierungen treffen wie „A impliziert klassisch (semantisch, syntaktisch) B“ oder „C impliziert intuitionistisch (semantisch, syntaktisch) D“. In der formalen Schreibweise wird die Art der Folgerung meist durch ein Subskript beim Folgerungszeichen angezeigt. So könnte zum Beispiel „K“ für klassische, „I“ für intuitionistische Folgerung stehen, also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\models _{K}B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\models _{K}B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f41ae42c2eea60ecc06405f4910e6ee49537eb66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.505ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\models _{K}B}" loading="lazy"></span> (semantisch, klassisch), <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\vdash _{K}B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\vdash _{K}B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c5454f28b0b2aa2f52fc001b9ccfa2745a08edf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.911ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\vdash _{K}B}" loading="lazy"></span> (syntaktisch, klassisch), <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\models _{I}B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\models _{I}B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63c122d4eda8e2ed984716bdc6ba000b02450b07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.873ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\models _{I}B}" loading="lazy"></span> (semantisch, intuitionistisch) und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\vdash _{I}B}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\vdash _{I}B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca8350c1c8d96c0177a2238aaaa481882fde5ced.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A\vdash _{I}B}" loading="lazy"></span> (syntaktisch, intuitionistisch).

</p><p>In den allermeisten Logiken besteht zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation ein enger Zusammenhang, der im <a href="Deduktionstheorem" title="Deduktionstheorem">Deduktionstheorem</a> ausgedrückt wird. Ist nämlich „Wenn a, dann b“ beweisbar, so lässt sich <i>b</i> aus <i>a</i> herleiten; und lässt sich umgekehrt <i>b</i> aus <i>a</i> herleiten, dann ist „Wenn a, dann b“ beweisbar. Für „<i>c</i> ist beweisbar“ schreibt man auch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \vdash c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdash c}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f521aca6e327b81865a2d3a338577b0ef7b36aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.072ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vdash c}" loading="lazy"></span>. Das Deduktionstheorem kann damit wie folgt niedergeschrieben werden:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdash a\rightarrow b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/035d9a5646eaf99192b453017ff1f1f00ef2664b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.907ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \vdash a\rightarrow b}" loading="lazy"></span> gdw. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\vdash b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\vdash b}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/729366427eb00ca9f7f82ef1deb7da74f1509ccd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.938ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\vdash b}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das Deduktionstheorem gilt sowohl für die klassische, die intuitionistische als auch die strikte Implikation. Es handelt sich jedoch um keinen selbstverständlichen Zusammenhang, sondern erfordert einen (in den meisten Fällen nicht-trivialen) Beweis.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Mamdani-Implikation" title="Mamdani-Implikation">Mamdani-Implikation</a></li>

<li><a href="Kontrafaktisches_Konditional" title="Kontrafaktisches Konditional">Kontrafaktisches Konditional</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Implikation" class="extiw external" title="wikt:Implikation">Wiktionary: Implikation</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li>Dorothy Edgington: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/conditionals/"><i>Conditionals.</i></a> In: Edward N. Zalta (Hrsg.): <i><a href="Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">Stanford Encyclopedia of Philosophy</a></i>.</li>

<li>Andrew Brennan: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/necessary-sufficient/"><i>Necessary and Sufficient Conditions.</i></a> In: Edward N. Zalta (Hrsg.): <i><a href="Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">Stanford Encyclopedia of Philosophy</a></i>.</li>

<li>Horacio Arlo-Costa: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/logic-conditionals/"><i>The Logic of Conditionals.</i></a> In: Edward N. Zalta (Hrsg.): <i><a href="Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">Stanford Encyclopedia of Philosophy</a></i>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Grundriß_der_formalen_Logik-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Grundriß_der_formalen_Logik_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Grundriß_der_formalen_Logik_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><i>Grundriß der formalen Logik</i>. Paderborn: Universitäts-Taschen-Bücher-Verlag: 1983. Aus dem Französischen von <a href="Joseph_Maria_Boche%C5%84ski" title="Joseph Maria Bocheński">Joseph Maria Bocheński</a>. Von <a href="Albert_Menne" title="Albert Menne">Albert Menne</a> übersetzt und erweitert.</span>

</li>

</ol>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4161414-8">4161414-8</a></span> </div>

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